Но как только от "математических" чисел мы переходим к "компьютерным"(или "цифровым"), т.е. к ячейкам памяти, появляются два фундаментальных ограничения:

диапазон ограничен максимальным числом М (т.е. Y точность ограничена числом m (т.е. cуществуют только Y=k*m, где k-натуральное число, а все остальные "округляются" до этих)

Представим что на рассмотренных выше примерах M=1 и m=0.01., кроме этого считаем значения ограниченными снизу нулём.

Исходная функция F изменится мало - появятся маленькие "ступеньки" по 0.01 (см График, красные точки)
Применим функцию G1. На всех точках при X>0.01 она "обрежется" до единицы и после применения G2 на всём отрезке кроме нуля результат будет 0.01 (см. График, красная линия)
Применим функцию H1. Вместо ста разных значений Y теперь принимает всего десять, т.к. от 0 до 0.1 можно разместить всего десять отсчётов с точностью m. Применение обратной функции H2 не меняет картину, а лишь увеличивает шаг в десять раз (см. График, красный пунктир)
Применение функций в обратном порядке ("G2 затем G1" и "H2 затем H1") разберите самостоятельно, ответ - на графике синим цветом. Видно, что результат не совпадает ни с чем: ни с функцией F, ни с результатом "прямого" применения пары G1G2 и H1H2.
Легко даже в уме прикинуть результат не только для умножения, но и для сложения, например для последовательного применения J1(X)=X+0.5 и J2(X)=X-0.5.

Поясню выделенное слово "МОЖЕТ". На приведённой в примере функции F(X)=X легко доказать что не только МОЖЕТ, но ВСЕГДА необратимо. Но для некоторых других функций это не так. Например функцию F2(X)=0.1*X можно смело "подвергать" воздействию умножения на 10 - ограничения не произойдёт. Причина - диапазон значений не подходит "достаточно близко к границе". Впрочем, от умножения на 100 это "не спасёт". Другой пример: функцию F3(X)=0.5*X можно безболезненно умножать на два (или прибавлять 0.5), а вот на 10 умножать (или прибавлять 0.8) без ограничения уже не выйдет. Обобщим вновь: чем ближе значения исходной функции к границам диапазона, тем более "мягкими" должны быть преобразования для того, чтобы оставаться обратимыми.

И, наконец, последнее. Выше я показал, что последовательное применение двух преобразований (прямого и обратного) не совпадает в "цифровом" случае с исходным результатом, т.е. с тождественным преобразованием, которому в математике равно последовательное применение прямой и обратной функции. Но если это справедливо даже для тождественного преобразования(частный случай), то совершенно очевиден и более общий случай ЛЮБОГО преобразования, являющегося математической комбинацией двух других: если "в математике" А(В(...))=С(...), то в общем случае "в цифре" A(B(...)) НЕ РАВНО С(...). Иными словами, если к одной и той же цели "математически" можно придти разными путями, то эти же пути "в цифре" дадут строго говоря РАЗНЫЙ результат.
RAW, JPEG, TIFF и потеря данных. Мифы и реальность.
Часто можно слышать и читать в популярных изданиях утверждение, что "JPEG - формат с потерей данных, а вот TIFF и RAW - нет". Этим же утверждением часто "оправдывают" отсутствие сохранения в RAW у некоторых камер ("RAW нет, зато есть TIFF!"). Некоторые авторы идут ещё дальше и даже при наличии обоих форматов в камере (RAW и TIFF) советуют сохранять в TIFF, "как более совместимом и не требующем конвертации". Все эти утверждения и советы в корне неверны. А что же на самом деле?
А на самом деле единственным форматом без потери данных является RAW. Степень потери данных при сохранении в TIFF и JPEG (максимального качества) примерно одинакова на 99% любительских сюжетов. А поскольку время сохранения файла TIFF в камере на порядок больше, чем JPEG, применение формата TIFF в цифровых камерах вообще нецелесообразно.
Утверждение категоричное и "еретическое", но лишь на первый взгляд. Защитники формата tiff наверняка начнут иллюстрировать его преимущества съёмками мелких контрастных чёрно-белых мир. И действительно получат более высокое разрешение и некоторые артефакты у формата JPEG. Но это как раз тот 1%, про который я упоминал. Большинство (99%) РЕАЛЬНЫХ любительских сюжетов не содержат столько мелких контрастных деталей в таких количествах. На РЕАЛЬНЫХ сюжетах потери от JPEG-сжатия по сравнению с TIFF настолько ничтожны, что даже на мониторе ПРИ СЛЕПОМ ТЕСТИРОВАНИИ (когда не знаешь что где) практически невозможно увидеть разницы. После распечатки - тем более. Гораздо заметнее другие потери данных, которые происходят при сохранении в камере, неважно - в TIFF ли или в JPEG. Про них практически никто не вспоминает, а знать о них необходимо.

интерполирует RGB цвета конечных точек изображения из сигналов окружающих сенсоров всех цветов;
применяет цветокорректировку в соответствии с настройками Баланса Белого;
применяет цветокорректировку в соответствии с настройками контраста и насыщенности;
применяет шарпинг (или блюринг) в соответствии с установками шарпа.
конвертирует результат в 8-битный цвет;
И лишь затем результат записывается в TIFF (или JPEG) формате на носитель.

Вся неприятность ситуации состоит в том, что понять насколько удачны выставленные при съёмке параметры можно только ПОСЛЕ съёмки - посмотрев результат, желательно на большом мониторе. Т.е. когда исправить уже поздно. А формат RAW (в случае если его камера "отдаёт") позволяет вообще не выставлять никаких параметров цвета-контраста-шарпа при съёмке (всё в авто)! На компьютер ставится точный программный аналог камерного процессора (RAW-конвертер) и можно получить на выходе варианты при ЛЮБЫХ параметрах и сравнить их между собой в спокойной обстановке. При недостатке же времени можно запустить пакетное конвертирование с параметрами "AS SHOT" и получить ровно те же JPEG-и, которые камера выдала бы на полном автомате.

Счастливым обладателям 12-битного RAW(в отличие от 8-битного) "в нагрузку" даётся возможность экспокоррекции плюс-минус 2EV (2 "стопа") почти без потери качества(относительно соответствующего повышенного ISO в случае положительной коррекции) ЗАДНИМ ЧИСЛОМ, при конвертации. Т.е. кадры, снятые на ISO400 нормально, и кадры, снятые на ISO100 с недодержкой и "вытянутые" в конверторе, отличаются мало. Это позволяет не слишком заботиться о точности экспозамера и не тратить время на точечные замеры - пусть ценой некоторого шума, но детали в тенях не пропадают в большинстве случаев.

Насколько существенны те "ужасы потерь данных", описанные выше? Почему владельцы многочисленных цифромыльниц без RAW не стонут от несправедливости? Может всё это вообще на глаз не видно? Для тех, кто внимательно читал "математическое отступление", ответ уже должен быть очевиден: чем цветастее и контрастнее снимаемый сюжет, чем выше диапазон его яркостей, тем меньшие ошибки он простит. Кроме самого сюжета, сдвигают значения к границам и ошибки экспозиции (недодержка, передержка). Если автомат поставил "среднюю" экспозицию, то сюжетно важный объект может оказаться недо/пере-свеченным, т.е. наиболее чувствительным к дальнейшим ошибкам обработки (близок к границам). Или, резюмируя: разница между технологиями "JPEG-Фотошоп" и "RAW-конвертер-Фотошоп" малозаметна на правильноэкспонированных низкоконтрастных сюжетах, но начинает становиться тем заметнее, чем:

контрастнее сюжет
больше недодержка/передержка(или объект в тени или блике)
больше ошибка в съёмочных параметрах (например забыли снять режим ББ "ламп накаливания" при выходе на улицу)

В фотоаппарате для этого предназначена функция "ручной баланс белого" (далее - "РББ"). При её наличии, как правило, результат получается лучше, чем на автомате или "пресетах". Алгоритм её использования подробно описан в инструкции и может отличаться для разных камер, но общее у них ОДНО - необходимо поместить вместо объекта (или рядом с ним) лист бумаги и откалиброваться по нему ДО ТОГО как начать съёмки. Как я уже упоминал выше, во многих случаях это неудобно, неоперативно и часто попросту делает съёмку невозможной. Однако, у владельцев камер с форматом RAW есть блестящий выход - "РББ задним числом". Суть метода очень проста:

видим событие, НЕМЕДЛЕННО снимаем его (в RAW разумеется);
запоминаем место и точку съёмки;
когда событие переместилось(закончилось), ребёнок уполз, драку разняли и т.п., кладём на ЭТО ЖЕ место (события) листок бумаги, а сами занимаем ту же точку и просто СНИМАЕМ бумагу (тоже в RAW). Подчёркиваю - НЕ УСТАНАВЛИВАЕМ РББ а просто нажимаем на спуск. Важно лишь чтобы освещение оставалось прежним (т.е. таким же как при съёмке события).
позже, дома, в RAW-конверторе выбираем пару событие/листок, тыкаем в листок пипеткой и говорим конвертору "конверти всё выделенное с таким же ББ". Технические подробности различаются для разных конверторов, но суть везде одна.
Единственным недостатком указанного способа является лишний расход места на флеш-карте на "служебные" кадры с бумагой, но при нынешних ценах на память и их тенденциях это не слишком обременительно... Зато "неизменно превосходный результат"!